МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА

 

С ПОМОЩЬЮ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm

 

Я обещала рассказать читателям, что нового мне удалось узнать из статьи по этой ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/9x9.php

 

Статья начинается вот с этих двух латинских квадратов (копирую) (рис. 1):

 

 

 

Рис. 1

 

Замечу, что латинский квадрат слева является настоящим латинским квадратом, а латинский квадрат справа – обобщённым латинским квадратом.

 

При первом прочтении статьи я не могла понять, что делать с этими матрицами, хотя и догадывалась, что это латинские квадраты. Теперь применяю к этим матрицам формулу, которую узнала из книги Чебракова. Но здесь во втором квадрате все элементы уже увеличены на 1 (это видно из того, что в квадрате отсутствует число 0), поэтому надо применить формулу в таком виде:

 

c_ij = 9*a_ij + b_ij

 

Применив эту формулу к изображённым матрицам, я получила пандиагональный квадрат, который вы видите на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Посмотрите на начальную цепочку в этом квадрате, она имеет вид:

 

1  2  3  8  9  7  6  4  5

и сравните её с первой строкой латинского квадрата слева (рис. 1, Matrix A).

 

Интересно показать здесь, как этот пандиагональный квадрат можно было построить методом качелей. Смотрите на образующую таблицу данного квадрата (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Пытаюсь понять, как автор строил латинские квадраты. В первом латинском квадрате (рис. 1, Matrix A) вижу циклический сдвиг чисел с постоянным шагом в каждой следующей строке. Покажу этот сдвиг более наглядно, поместив три таких квадрата рядом (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

А вот как строится второй латинский квадрат (рис. 1, Matrix B), не сразу смогла понять. А потом увидела “ход конём”! Не буду рассказывать, где именно я его увидела, пусть читатели увидят сами. И начальная цепочка в построенном пандиагональном квадрате строится ходом шахматного коня.

 

Добавление: ещё один эксперимент (1 июля 2008 г.)

 

Продолжая строить различные латинские квадраты с целью найти как можно больше закономерностей, я построила ещё одну пару латинских квадратов, аналогичных представленным на рис. 1. Первый латинский квадрат построен так (рис. 4а):

 

 

Рис. 4а

 

Второй латинский (обобщённый) квадрат построен так (рис. 4б):

 

 

Рис. 4б

 

Складываю матрицы этих латинских квадратов по формуле, приведённой выше, но с прибавлением единицы, и получаю такой пандиагональный квадрат (рис. 4в):

 

 

Рис. 4в

 

Этот квадрат подобен пандиагональному квадрату, изображённому на рис. 2 в том смысле, что в обоих квадратах начальная цепочка строится ходом шахматного коня. Однако только что построенный квадрат не эквивалентен квадрату с рис. 2, это существенно различные квадраты. Отмечу, что пандиагональные и идеальные квадраты с начальной цепочкой “ход конём” мне удалось построить только тогда, когда я разработала метод качелей. А разработку метода качелей я начала с идеального квадрата 11-ого порядка, в котором качели очень простые – с тривиальной образующей таблицей. Пришлось несколько подумать, чтобы перейти от качелей с тривиальной образующей таблицей к качелям с нетривиальной образующей таблицей (стандартным и нестандартным), с помощью которых и были построены идеальные квадраты серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3…

 

Думаю, что можно построить ещё не одну пару латинских квадратов по аналогии с латинскими квадратами, изображёнными на рис. 1, и с помощью каждой такой пары построить новый пандиагональный квадрат. Интересно, будет ли в этой группе квадратов идеальный квадрат? Какая пара латинских квадратов будет ему соответствовать? Предлагаю читателям решить эту задачу.

 

А ещё задача такая: найти способ составления пары латинских квадратов для построения пандиагонального квадрата 15-ого порядка. Это я и пытаюсь сделать, экспериментируя с квадратами 9-ого порядка. Ведь в своём методе качелей я легко перешла от квадратов 9-ого порядка к квадратам 15-ого порядка, а затем и к квадратам 21-ого порядка и т. д. Всё абсолютно аналогично!

 

2 июля 2008 г.

 

Нашла в своих черновых записях такой идеальный квадрат (рис. 5а):

 

 

Рис. 5а

 

Этот квадрат тоже построен методом качелей, начальная цепочка в нём так же строится ходом шахматного коня, но вот шаги качания качелей отличаются от двух предыдущих квадратов, здесь качели качаются так: через 1 ячейку вправо, через 6 ячеек влево, то есть симметричные шаги относительно первых двух квадратов. Замечу, что идеальных квадратов 9-ого порядка я в своё время построила очень много,  сначала построила несколько десятков до разработки метода качелей (другими методами), а затем несколько десятков уже методом качелей. Все эти квадраты, конечно, сохранились в черновых записях.

 

Теперь решаю обратную задачу: раскладываю этот квадрат на два латинских квадрата. Очень интересно посмотреть, будут ли аналогичны эти латинские квадраты тем, что представлены на рис. 1. Ведь квадраты, полученные в первых двух примерах только пандиагональные, а квадрат на рис. 5а идеальный.

На рис. 5б и рис. 5в вы видите латинские квадраты, на которые разложился идеальный квадрат с рис. 5а.

 

 

Рис. 5б

 

 

 

Рис. 5в

 

Проанализировала эти латинские квадраты, закономерности прослеживаются.

А теперь попробую повторить в первой строке начальную цепочку идеального квадрата, то есть построить латинские квадраты в точной аналогии с изображёнными на рис. 1. На рис. 5г и рис. 5д вы видите эти латинские квадраты.

 

 

Рис. 5г

 

 

 

Рис. 5д

 

Строим с помощью этих латинских квадратов квадрат 9-ого порядка (по известной уже читателям формуле). Построенный квадрат изображён на рис. 5е

 

 

Рис. 5е

 

Пандиагональный квадрат получился! И он абсолютно подобен квадрату, изображённому на рис. 2, такая же форма начальной цепочки, одинаковые шаги качания качелей. Однако эти два квадрата не эквивалентны, то есть мы получили новый пандиагональный квадрат.

 

И ещё один эксперимент: оставляю латинский квадрат, изображённый на рис. 5г, таким же, а второй латинский квадрат составляю по-другому (рис. 5ж):

 

 

Рис. 5ж

 

Строим из новой пары латинских квадратов (рис. 5г и рис. 5ж) квадрат 9-ого порядка (рис. 5з):

 

 

Рис. 5з

 

И перед вами новый пандиагональный квадрат!

 

Необходимо отметить следующее: в любой паре латинских квадратов, используемой для построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка (и вообще любого порядка n), латинские квадраты являются ортогональными. Следует дать определение ортогональных латинских квадратов. Приведу его по книге Чебракова (стр. 71):

 

 

Теперь немного растолкую это определение. Для примера возьмём два латинских квадрата с рис. 5г и рис. 5д. При наложении этих двух квадратов получаем такую матрицу (рис. 5и):

 

 

Рис. 5и

 

Узнаёте, что это за матрица? Это готовый пандиагональный квадрат, только записанный девятеричными числами. Такие квадраты я получала при разложении пандиагональных квадратов на латинские.

А теперь посмотрите на элементы этой матрицы. Их 81 и все они различны. В составлении этих элементов участвуют 9 символов: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Если вы посчитаете по известной формуле число сочетаний из 9 по 2, получите результат 36. Но это разных сочетаний. Такие сочетания, как 24 и 42, считаются (при применении формулы для сочетаний) одинаковыми. Здесь же такие сочетания считаются различными. Таким образом, получаем: 36 + 36 = 72 сочетания. И ещё 9 сочетаний получаем из двух одинаковых символов: 00, 11, 22 и т. д. Таким образом, количество всех сочетаний в этой матрице как раз равно 81.

 

Теперь мы с вами, уважаемые читатели, совсем близки к тому, чтобы составить два ортогональных латинских квадрата для построения пандиагонального квадрата 15-ого порядка. Но… скоро сказка сказывается…

 

_________

 

Рассмотрев этот частный пример, идём дальше по статье. Автор строит общую матрицу для построения пандиагональных квадратов 9-ого порядка, и строит он её в символьном виде. Заинтересовавшиеся читатели посмотрят в статье, как строится эта матрица (надо знать английский язык или перевести статью). Я же приведу уже готовую матрицу и поработаю с ней. Копирую из статьи, на рис. 5 вы видите готовую матрицу, а на рис. 6 – табличку значений символов этой матрицы.

 

 

     Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

В своей статье о магических квадратах 9-ого порядка я показала, как с помощью этой матрицы строить пандиагональные квадраты. В центральной ячейке матрицы стоит элемент СССС. Очевидно, что этот элемент будет равен 40 при такой таблице значений символов (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Я просто поменяла местами значения символов В и С.

С помощью такой таблицы значений мне удалось построить не только пандиагональный квадрат, но и идеальный. Смотрите этот идеальный квадрат на рис. 8.

 

 

 

Рис. 8

 

В статье о магических квадратах 9-ого порядка я преобразовала этот квадрат, сделав его начинающимся с числа 1. Преобразованный идеальный квадрат изображён на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Как я уже говорила, это был первый идеальный квадрат 9-ого порядка, который мне удалось построить. Посмотрите, как оригинально расположены первые 9 чисел в этом квадрате! С такой начальной цепочкой, это, наверное, единственный идеальный квадрат из всех построенных не только мной, но и другими авторами.

 

Но вернусь к латинским квадратам. Автор виртуозно объединил все пары латинских квадратов, с помощью которых строятся пандиагональные квадраты, в одной символьной матрице. Теперь я покажу несколько пар латинских квадратов, полученных из общей матрицы. Чтобы выделить из общей матрицы (рис. 5) два латинских квадрата, надо поступить так: из каждого элемента матрицы первые два символа записать в первый латинский квадрат, а третий и четвёртый символы – во второй латинский квадрат. Затем посчитать значение каждого элемента в этих двух квадратах. При этом значение каждого элемента надо разделить на 9. Не забывайте учитывать, что при подсчёте элементов значение символа зависит от его позиции. Например, значение элемента СС = 27 + 9 = 36 (сначала я буду пользоваться таблицей значений символов с рис. 7).

Итак, вот перед вами два латинских квадрата, которые я выделила из общей матрицы, используя значения символов из таблицы на рис. 7 (рис. 10 и рис. 11):

 

 

Рис. 10

 

 

 

Рис. 11

 

Очевидно, что второй квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. Сложив матрицы этих латинских квадратов по формуле:

 

[1]                                          c_ij = 9*a_ij +b_ij +1,

 

вы получите идеальный квадрат, изображённый на рис. 8.

 

Интересно, что если взять в качестве второго латинского квадрата квадрат с рис. 10, повёрнутый на 90 градусов по часовой стрелке, и применить формулу [1] к новой паре латинских квадратов, снова получается идеальный квадрат, который можно получить из квадрата с рис. 8 комбинацией следующих преобразований: поворот на 90 градусов, отражение, перестановка строк и столбцов. Этот идеальный квадрат показан на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Теперь выделю из общей матрицы другую пару латинских квадратов, используя значения символов из таблицы на рис. 6. На рис. 13  и рис. 14 изображена эта пара латинских квадратов.

 

 

Рис. 13

 

 

 

Рис. 14

 

Сложив матрицы этих латинских квадратов по формуле [1], получаю следующий пандиагональный квадрат (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

А вот посмотрите на квадрат, который приведён в качестве примера в указанной статье (рис. 16). Понятно, что это тот же самый квадрат, который только что построен, но заполненный числами от 0 до 80. Для приведения квадрата к традиционному виду надо увеличить все элементы на единицу.

 

 

Рис. 16

 

Преобразуем квадрат с рис. 15. Сначала применим к нему преобразование параллельного переноса на торе. Полученный в результате этого преобразования квадрат вы видите на рис. 17.

 

 

Рис. 17

 

Теперь переставим в полученном квадрате строки, получаем такой квадрат (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

И, наконец, переставим столбцы, в результате получим квадрат (рис. 19), который совпадает с идеальным квадратом на рис. 8.

 

 

Рис. 19

 

Мне стало интересно попробовать ещё один вариант для значений символов матрицы. Выбираю такой расклад (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

На рис. 21 и на рис. 22 показаны латинские квадраты, которые получаются из общей матрицы при таких значениях символов.

 

 

Рис. 21

 

 

Рис. 22

 

Сложив матрицы этих латинских квадратов по формуле [1], получаю такой квадрат (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Обнаруживаю, что это идеальный квадрат с рис. 8 повёрнутый на 180 градусов. Нового квадрата не получилось.

 

Пробую взять такой вариант для значений символов (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Выделяю латинские квадраты из общей матрицы при таких значениях символов (рис. 25 и рис. 26):

 

 

Рис. 25

 

 

 

Рис. 26

 

Примечание: в этом случае выделение латинских квадратов из общей матрицы выполняется несколько иначе, чем в предыдущих примерах.

 

Сложив матрицы этих латинских квадратов по формуле [1], получаю такой квадрат (рис. 27):

 

 

Рис. 27

 

Обнаруживаю, что этот квадрат получается из квадрата с рис. 15 отражением относительно горизонтальной оси симметрии, то есть опять получился эквивалентный квадрат.

 

Не буду больше экспериментировать. Заинтересовавшиеся читатели могут продолжить эксперименты.

 

Следует отметить, что в приведённых парах латинских квадратов, полученных из общей матрицы, построение выполняется так: в первом латинском квадрате циклически переставляются тройки чисел (как пишет в своей книге Чебраков), но они не просто переставляются, а ещё происходит циклическая перестановка чисел внутри самих троек; второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов (либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки), а у Чебракова второй квадрат получается из первого поворотом вокруг главной (восходящей) диагонали (совсем непонятный мне поворот).

 

Меня очень занимает вопрос: как составить аналогичную матрицу для построения пандиагональных (и идеальных) квадратов 15-ого порядка? Наверное, для этого надо разобраться в том, как автор рассматриваемой статьи построил матрицу для квадратов 9-ого порядка. Интересная задача! Приглашаю читателей заняться её решением. Как жаль, что автор статьи остановился на квадратах 9-ого порядка [из серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3…]. В предыдущей статье было показано, что пандиагональные и идеальные квадраты 15-ого порядка тоже раскладываются на два латинских квадрата. И для пандиагонального квадрата 21-ого порядка тоже приведён пример такого разложения. Но как решить прямую задачу: составить два латинских квадрата, с помощью которых можно будет построить пандиагональные (и идеальные) квадраты всех следующих порядков указанной серии?

 

***

 

Читайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Пишите (в гостевую книгу, на форум сайта) свои комментарии, вопросы, предложения.

 

 

29 июня – 2 июля 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу