1	12	13	8
14	7	2	11
4	9	16	5
15	6	3	10

 

 

         Внимание! Оригинал.

            При копировании материалов

            прошу указывать ссылку

            на данную страницу.

 

 

МЕТОД КАЧЕЛЕЙ ДЛЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

    ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Итак, я решила отдохнуть от идеальных квадратов, завершив построение квадратов 27-ого порядка. Напомню читателям, что это не самый большой порядок идеального квадрата, который я построила. Самый большой – это идеальный квадрат 81-ого порядка. Правда, я построила его не методом качелей, а двумя (!) другими методами. Метод качелей для таких идеальных квадратов – это уже третий метод. Построение идеального квадрата 81-ого порядка показано на странице “Пандиагональные квадраты нечётных порядков, кратных 9”.

А идеальные квадраты порядков от 5-ого до 27-ого построены методом качелей в статье “Идеальные квадраты”, которая написана в 10 частях. Вот ссылка на самую первую часть:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm

 

Решив немного отвлечься от больших квадратов, я подумала: а не работает ли метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков? И вот возвращаюсь к самым маленьким пандиагональным квадратикам – четвёртого порядка. Ах, какие крохотные! Даже удивительно с ними работать после таких больших квадратов, как 27-ого или 81-ого порядка. Пандиагональные квадраты четвёртого порядка подробно рассмотрены мной в статье “Пандиагональные квадраты”. Это была самая первая моя статья о пандиагональных квадратах.

 

Как известно, существует три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка. Все такие квадраты я построила, не задаваясь даже вопросом о методе их построения. Была у меня программа построения всех 880-ти магических квадратов четвёртого порядка, которую я написала 15 лет назад. Вставив в неё блок проверки пандиагональности, попутно получила по этой программе и 48 пандиагональных квадратов. Ну, потом из Википедии узнала, что существуют преобразования параллельного переноса на торе, и с точностью до этих преобразований есть только три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка. Я бы сказала лучше так: есть три группы квадратов, а в каждой группе есть основной (базовый) квадрат, из которого параллельным переносом на торе получаются все квадраты данной группы. На рис. 1 показываю три базовых пандиагональных квадрата четвёртого порядка:

 

 

 

                                                                      Рис. 1

 

Обратите внимание на расположение первых 4 чисел (начальная цепочка). В квадратах первых двух групп схема расположения одинакова. Для этих базовых квадратов у меня не получились качели. А вот для базового квадрата третьей группы (на рис. 1 справа), с другим расположением начальной цепочки, качели работают! Точно так же, как и для пандиагональных квадратов нечётных порядков. На рис. 2 рисую образующую таблицу этого квадрата.

 

 

 

                                                                           Рис. 2

 

Повторяю: всё совершенно аналогично методу качелей для квадратов нечётного порядка. Интересно, не правда ли?

Ну, а дальше составляю программу, которая для такого малютки пишется за 5 минут. Выполняю программу и получаю результат – четыре пандиагональных квадрата. Вот такие чудеса в решете! Показываю эти четыре квадрата, выданных программой. Надо ли говорить, что программа работала долю секунды.

 

1

 1  8  13  12

 14  11  2  7

 4  5  16  9

 15  10  3  6

 

 2

 1  12  13  8

 14  7  2  11

 4  9  16  5

 15  6  3  10

 

 3

 1  8  13  12

 15  10  3  6

 4  5  16  9

 14  11  2  7

 

 4

 1  12  13  8

 15  6  3  10

 4  9  16  5

 14  7  2  11

 

Как видите, первый квадрат – это исходный. А три другие очень просто получаются из него разными преобразованиями. Смотрите сами: второй квадрат получается из исходного преобразованием стандартной перестановки столбцов, третий квадрат – преобразованием стандартной перестановки строк, а четвёртый квадрат – стандартной перестановкой одновременно строк и столбцов.

Я посмотрела, почему программа не выдала остальные квадраты этой группы, ведь их всего 16. Оказалось, что в остальных квадратах другое расположение максимальных чисел в столбцах образующей таблицы (выделенные голубым цветом ячейки на рис. 2), но качели всё равно действуют.

Показываю квадрат № 2, выданный программой с закрашенными циклами качания качелей (рис. 3).

 

 

 

                                                    Рис. 3

 

Да, а шаги качания качелей, очевидно, таковы: через одну ячейку вправо, через одну ячейку влево.

Ещё хочу отметить, что и преобразование “плюс-минус …” связывает квадраты данной группы. Например, квадраты № 1 и № 2, выданные программой, связаны преобразованием “плюс-минус 4”. Вот матрица этого преобразования (рис. 4):

 

 

                                                    Рис. 4

 

Такое нехитрое преобразование сохраняет пандиагональность квадрата. Наложите эту матрицу на квадрат № 1; к числам, попавшим в жёлтые ячейке, прибавьте 4, а от чисел, попавших в розовые ячейки, вычтите 4, и новый пандиагональный квадрат готов. Он, разумеется, не совсем новый, а всего лишь один из квадратов группы квадрата № 1. А с точки зрения качелей это преобразование равносильно тому, что два цикла качания качелей поменялись местами. Покажу это, поместив оба квадрата рядом и закрасив в них циклы качания качелей (рис. 5).

 

                                                  Квадрат № 1             Квадрат № 2

 

 

                                                                      Рис. 5

 

На рисунке очень хорошо видно, что оранжевый и белый циклы поменялись местами. Напомню читателям, что циклы качания качелей соответствуют столбцам образующей таблицы. Подобные преобразования я показывала в свете метода качелей для идеальных квадратов нескольких порядков (в статье “Идеальные квадраты”).

 

А теперь сама собой напрашивается мысль: а для квадратов высших чётно-чётных порядков действует метод качелей? Ну, просто сил нет! Это надо сейчас же смотреть пандиагональные квадраты восьмого порядка на предмет работы качелей.

Но если вдруг окажется, что и для квадратов восьмого порядка можно построить пандиагональные квадраты методом качелей, и для квадратов 12-ого порядка, и вообще для любого чётно-чётного порядка, то получается сенсация:

 

метод качелей – универсальный метод построения пандиагональных квадратов любого порядка!!!

 

Нет, право же надо отдохнуть. Не буду прямо сейчас смотреть на пандиагональньные квадраты восьмого порядка. Предлагаю сделать это читателям. Сенсацию я уже объявила. Почти уверена, что она действительно имеет место. Для пандиагональных квадратов четвёртого порядка это уже показано. Если кто-то из читателей покажет это на примере пандиагональных квадратов чётно-чётных порядков больше 4, то всё равно открытие будет принадлежать мне. Согласны?

 

                                                             ***

 

Читайте мой живой журнал:

 

http://nataly-magique.livejournal.com/

 

                                                                  _________

 

 

17 января 2008 г.

г. Саратов

 

                                       18 января 2008 г.

 

Я переименовала статью, прежнее её название было “Пандиагональные квадраты четвёртого порядка в свете метода качелей”. Выше и были показаны квадраты четвёртого порядка.

 

А теперь покажу подтверждение объявленной сенсации на примере пандиагональных квадратов 12-ого порядка. Пока пропускаю квадраты 8-ого порядка, потому что с ходу не увидела квадрата, подходящего для метода качелей. А вот для пандиагонального квадрата 12-ого порядка сочинила образующую таблицу сразу (см. рис. 6), запрограммировала её и получила огромное количество пандиагональных квадратов подобного типа. Просто фантастика!

 

 

 

                                                                           Рис. 6

 

Повторяю: всё совершенно аналогично методу качелей для пандиагональных квадратов нечётного порядка (идеальные квадраты, как известно, частный случай пандиагональных квадратов). Номера циклов качания качелей (нижняя строка образующей таблицы) тоже находятся в определённой зависимости от чисел в начальной цепочке. Читатели смогут увидеть эту зависимость в готовых образующих таблицах, которые буду показаны дальше. Итак, я зафиксировала в начальной цепочке положение двух чисел – 12 и 1. Все остальные числа в этой цепочке варьируются. Таким образом, имеем 10 переменных, каждая из которых принимает значения от 2 до 11. Представьте, сколько вариантов должна рассмотреть программа! У меня, как всегда, не хватило терпения прогнать программу до конца. Запустив программу, я ушла завтракать. Вернувшись, обнаружила, что программа ещё работает. Я прервала её, к моменту прерывания было найдено 1512 решений.

Как и раньше, я вывожу решения в виде образующих таблиц. Показываю первые три решения, сначала в том виде, как они выдались программой, а затем превращаю каждую образующую таблицу в пандиагональный квадрат.

 

1

-1 -1 -1 -1  5 -7  1 -2 -2  1 -2

 12  131  115  97  89  75  144  59  67  37  17  27

 2  130  117  104  90  76  134  58  69  44  18  28

 3  132  119  103  85  77  135  60  71  43  13  29

 4  122  118  105  92  78  136  50  70  45  20  30

 5  123  120  107  91  73  137  51  72  47  19  25

 6  124  110  106  93  80  138  52  62  46  21  32

 1  125  111  108  95  79  133  53  63  48  23  31

 8  126  112  98  94  81  140  54  64  38  22  33

 7  121  113  99  96  83  139  49  65  39  24  35

 9  128  114  100  86  82  141  56  66  40  14  34

 11  127  109  101  87  84  143  55  61  41  15  36

 10  129  116  102  88  74  142  57  68  42  16  26

 

 2

-1 -1 -1 -1  5 -10  1  1  1  1 -5

 12  128  118  97  89  75  144  20  34  37  53  63

 2  127  117  107  90  76  134  19  33  47  54  64

 3  132  116  106  85  77  135  24  32  46  49  65

 4  122  115  105  95  78  136  14  31  45  59  66

 5  123  120  104  94  73  137  15  36  44  58  61

 6  124  110  103  93  83  138  16  26  43  57  71

 1  125  111  108  92  82  133  17  27  48  56  70

 11  126  112  98  91  81  143  18  28  38  55  69

 10  121  113  99  96  80  142  13  29  39  60  68

 9  131  114  100  86  79  141  23  30  40  50  67

 8  130  109  101  87  84  140  22  25  41  51  72

 7  129  119  102  88  74  139  21  35  42  52  62

 

 3

-1 -1 -1 -2  6 -10  1  1  1  2 -6

 12  128  118  97  89  63  144  20  34  37  53  75

 2  126  117  107  91  64  134  18  33  47  55  76

 3  132  116  106  85  65  135  24  32  46  49  77

 4  122  114  105  95  67  136  14  30  45  59  79

 5  123  120  104  94  61  137  15  36  44  58  73

 7  124  110  102  93  71  139  16  26  42  57  83

 1  125  111  108  92  70  133  17  27  48  56  82

 11  127  112  98  90  69  143  19  28  38  54  81

 10  121  113  99  96  68  142  13  29  39  60  80

 9  131  115  100  86  66  141  23  31  40  50  78

 8  130  109  101  87  72  140  22  25  41  51  84

 6  129  119  103  88  62  138  21  35  43  52  74

 

В первой строке (сразу за номером решения) выводятся разности (самый левый столбец образующей таблицы). Напомню читателям, что образующую таблицу переписывать в готовый квадрат очень удобно построчно. Замечу, что у меня не выводятся номера циклов качания качелей (самая нижняя строка образующей таблицы). Итак, смотрите на пандиагональные квадраты 12-ого порядка, порождаемые приведёнными образующими таблицами (рис. 7, 8, 9).

 

 

 

                                                                       Рис. 7

 

 

 

                                                                      Рис. 8

 

 

 

                                                                      Рис. 9

 

Удивительно красивые пандиагональные квадраты! В левой верхней ячейке у них находится число 1 – вообще самые лучшие магические квадраты, которые с числа 1 начинаются (мне так кажется). Качели здесь имеют такие шаги качания: через 1 ячейку влево, через 9 ячеек вправо. Заметьте, что сумма шагов качания 1+9=10, на 2 меньше порядка квадрата. Точно так же и для всех качелей в квадратах нечётного порядка. Отразив любой из этих трёх квадратов относительно одной из осей симметрии, получим пандиагональный квадрат с качелями, имеющими симметричные шаги качания, то есть через 1 ячейку вправо, через 9 ячеек влево. Всего же для квадратов 12-ого порядка должно быть пять видов качелей, с такими сложениями шагов качания: 1+9, 2+8, 3+7, 4+6, 5+5. Не могу утверждать, что все они имеют место, так как не имею образцов с такими качелями.

 

А теперь посмотрите на последние два квадрата. Только два числа в начальной цепочке поменялись местами – 6 и 7. И, конечно же, эти квадраты связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Напомню, что комбинированным преобразованием “плюс-минус …” я называю такое преобразование, в котором участвуют несколько чисел, в отличие от простого преобразования, в котором участвует только одно число. Простое преобразование “плюс-минус 4” было показано выше для квадратов четвёртого порядка. На рис. 10 показываю матрицу комбинированного преобразования “плюс-минус …” для пандиагональных квадратов с рис. 8 и 9. Замечу, что для краткости я не пишу в ячейках матрицы a_ij.

 

 

 

                                                   Рис. 10

 

Вот такое красивое преобразование, которое, понятно, сохраняет пандиагональность квадрата. Читатели уже знают, как пользоваться этой матрицей. Надо наложить её на квадрат с рис. 8, выполнить все действия над числами, попавшими в закрашенные ячейки, а остальные числа переписать без изменения. И новый пандиагональный квадрат готов – это квадрат с рис. 9. Как видите, в преобразовании участвуют четыре числа – 1, 11, 12, 13.

Безусловно, среди всех пандиагональных квадратов этой группы есть ещё много квадратов, связанных преобразованиями такого типа. Но сочинить такое преобразование, не имея перед собой двух готовых квадратов, крайне сложно.

 

Если вы захотите получить много пандиагональных квадратов такого вида, составьте программу для образующей таблицы, изображённой на рис. 6 и выполните её. Вряд ли вам удастся выполнить её до конца, а если удастся, то вы получите точное число таких пандиагональных квадратов. Не поленитесь вставить в программу блок превращения образующей таблицы в готовый квадрат. Тогда вы будете получать решения в виде готовых пандиагональных квадратов. Как я уже говорила, решений будет очень много; я прервала программу, когда уже было найдено 1512 решений.

 

Вот посмотрите на пандиагональный квадрат, который я построила матричным методом в статье “Магические квадраты 12-ого порядка” (рис. 11).

 

 

                                                                      Рис. 11

 

В этом квадрате качели не работают. Вполне вероятно, что его можно превратить простой перестановкой строк и столбцов в такой квадрат, в котором качели будут действовать. У меня есть программа перестановки строк и столбцов для квадратов 12-ого порядка, при помощи которой я получала пандиагональные квадраты из ассоциативного. Надо будет на досуге попробовать переставить строки и столбцы в этом квадрате. Однако это может и не получиться.

Но достаточен тот факт, что я смогла методом качелей построить множество пандиагональных квадратов 12-ого порядка, хотя и только одного вида. Вполне возможно, что существует группа или даже несколько групп пандиагональных квадратов 12-ого порядка, которые не строятся методом качелей. Кстати, для квадратов четвёртого порядка тоже не все три группы квадратов были построены методом качелей, а только одна группа. Интересный вопрос для исследований.

 

А теперь, конечно, мне очень хочется показать метод качелей для пандиагональных квадратов 8-ого порядка. Но надо сочинить образующую таблицу. Пойду решать задачу.

 

Замечу, что о магических квадратах 12-ого порядка вы можете прочитать в статьях:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk12.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/panch.htm

 

                                                   ***

 

                                                    19 января 2008 г.

 

Сочинила образующую таблицу для пандиагонального квадрата 8-ого порядка по аналогии с таблицей для квадрата 12-ого порядка. Она изображена на рис. 12.

 

 

                                                                           Рис. 12

 

Сильная вещь – аналогия! Из всех имеющихся у меня пандиагональных квадратов 8-ого порядка (а их у меня более 720!) не нашла ни одного квадрата, в котором явно работают качели. Тогда решила нарисовать образующую таблицу по аналогии с предыдущей. И, кажется, всё получилось.

Сейчас составлю программу для этой образующей таблицы и получу много-много пандиагональных квадратов, каких в моей коллекции ещё нет. Восторг!

Поскольку здесь всего 6 переменных и изменяются они от 2 до 7, есть надежда получить все пандиагональные квадраты данного вида.

 

                                               ***

 

Продолжаю свой рассказ. Программа составилась быстро и выполнилась мгновенно. Я даже отбросила в сторону лень и написала в программе блок превращения образующей таблицы в готовый квадрат. И программа выдала мне 144 пандиагональных квадрата 8-ого порядка! Торжествую и радуюсь. Я среди этих квадратов такой квадратик нашла – просто пальчики оближешь! Но сначала покажу первые 7 решений, выданных программой, могла бы и все 144 показать, но много места займут. А прикреплять отдельным файлом не хочется, тем более что у меня уже есть на сайте файл с пандиагональными квадратами 8-ого порядка, построенными матричным методом (720 штук!).

 

1

 1  51  48  38  57  27  24  14

 23  13  4  50  47  37  60  26

 59  32  22  9  3  56  46  33

 45  36  58  31  21  12  2  55

 8  54  41  35  64  30  17  11

 20  10  7  53  44  34  63  29

 62  25  19  16  6  49  43  40

 42  39  61  28  18  15  5  52

 

 2

 1  51  48  38  57  11  24  30

 21  31  4  50  45  39  60  10

 59  16  22  25  3  56  46  33

 47  36  58  13  23  28  2  53

 8  54  41  35  64  14  17  27

 20  26  5  55  44  34  61  15

 62  9  19  32  6  49  43  40

 42  37  63  12  18  29  7  52

 

 3

 1  51  48  30  57  35  24  14

 23  12  5  50  47  28  61  34

 59  40  22  9  3  56  46  25

 44  29  58  39  20  13  2  55

 8  54  41  27  64  38  17  11

 21  10  7  52  45  26  63  36

 62  33  19  16  6  49  43  32

 42  31  60  37  18  15  4  53

 

 4

 1  51  48  30  57  11  24  38

 20  39  5  50  44  31  61  10

 59  16  22  33  3  56  46  25

 47  29  58  12  23  37  2  52

 8  54  41  27  64  14  17  35

 21  34  4  55  45  26  60  15

 62  9  19  40  6  49  43  32

 42  28  63  13  18  36  7  53

 

 5

 1  51  48  14  57  35  24  30

 21  28  7  50  45  12  63  34

 59  40  22  25  3  56  46  9

 44  15  58  37  20  31  2  53

 8  54  41  11  64  38  17  27

 23  26  5  52  47  10  61  36

 62  33  19  32  6  49  43  16

 42  13  60  39  18  29  4  55

 

 6

 1  51  48  14  57  27  24  38

 20  37  7  50  44  13  63  26

 59  32  22  33  3  56  46  9

 45  15  58  28  21  39  2  52

 8  54  41  11  64  30  17  35

 23  34  4  53  47  10  60  29

 62  25  19  40  6  49  43  16

 42  12  61  31  18  36  5  55

 

 7

 1  52  40  45  57  20  32  13

 31  14  3  50  39  46  59  18

 60  24  29  9  4  56  37  41

 38  43  58  23  30  11  2  55

 8  53  33  44  64  21  25  12

 27  10  7  54  35  42  63  22

 61  17  28  16  5  49  36  48

 34  47  62  19  26  15  6  51

 

 

Помещу в матрицу самое первое решение и закрашу все циклы качания качелей (рис. 13).

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

Вам нравится? Мне очень! Качели здесь имеют такие шаги качания: через 1 ячейку влево, через 5 ячеек вправо. Сумма шагов, как видите, снова на 2 меньше порядка квадрата, как абсолютно во всех рассмотренных мной качелях.

Предлагаю читателям исследовать представленные квадраты на предмет преобразования “плюс-минус …”.

 

А теперь покажу квадрат, который просто великолепен. Когда я рассматривала квадраты 12-ого порядка, составленные по аналогичной образующей таблице, там я просто не дошла до аналогичного квадрата, потому что слишком много решений, и я их не стала даже все выводить и прервала программу. А вот здесь всё проще – и какой результат! Все 144 квадрата я, конечно же, вывела в файл. Потом посмотрела на них очень внимательно и увидела этот квадрат. Вот он, на рис. 14.

 

 

 

                                                                      Рис. 14

 

В чём же великолепие этого квадрата? Посмотрите на расположение чисел в начальной цепочке. Они следуют по порядку! И образующая таблица этого квадрата тривиальна так же, как в аналогичных качелях для идеальных квадратов нечётных порядков, не кратных 3. Вот покажу и образующую таблицу этого квадрата, чтобы читатели лучше поняли, в чём вся прелесть этого квадрата. Да, замечу, кстати, что среди решений, выданных программой, этот квадрат стоит под № 55. Смотрите на образующую таблицу (рис. 15):

 

 

 

                                                                           Рис. 15

 

Аналогичный квадрат есть и среди решений для пандиагональных квадратов 12-ого порядка (я получила его, искусственно задав в программе нужные значения переменных). Показываю его (рис. 16):

 

 

 

                                                                      Рис. 16

 

Нарисуйте образующую таблицу этого квадрата (пустая таблица для этого изображена на рис. 6). И вы увидите ещё лучше все закономерности.

 

А теперь внимание! Это же я не просто так показала такие прекрасные образцы пандиагональных квадратов 8-ого и 12-ого порядка. Дело в том, что по аналогии с этими квадратами строится пандиагональный квадрат любого чётно-чётного порядка безо всяких вычислений. Просто рисуется аналогичная образующая таблица, заполняется по закону её формирования, а затем переписывается в матрицу для квадрата (построчно). И всё! Но так можно построить только один квадрат (точно так же, как простыми качелями с тривиальной образующей таблицей можно построить только один идеальный квадрат нечётного порядка, не кратного 3). А остальные квадраты надо, конечно, строить по программе. Для квадратов 8-ого порядка программа построила 144 таких квадрата. Для квадратов 12-ого и 16-ого порядка их число очень большое.

Итак, проделаю всё сказанное для квадрата 16-ого порядка. На рис. 17 вы видите совершенно аналогичную образующую таблицу, которая заполняется элементарно.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Напомню читателям, как формируются наборы чисел в столбцах образующей таблицы (для тех, кто не читал статью о качелях для идеальных квадратов). Процесс начинается с максимального числа в столбце, которое обязательно кратно порядку квадрата (в таблице эти числа находятся в выделенных голубым цветом ячейках). От этого числа надо двигаться вверх по столбцу, прибавляя разности из самого левого столбца таблицы, начиная с самой нижней. Дойдя до верхнего края, начинать писать числа с самого нижнего края таблицы, опять снизу вверх. Сформирую, например, набор чисел в первом столбце таблицы, следующем за столбцом с начальной цепочкой чисел.

 

144+(-1)=143, 143+(-1)=142, 142+(-1)=141, 141+(-1)=140, 140+(-1)=139

139+(-1)=138, 138+(-1)=137, 137+(-8)=129, 129+1=130, 130+1=131

131+1=132, 132+1=133, 133+1=134, 134+1=135, 135+1=136

 

Всё о закономерностях образующей таблицы я рассказывала очень подробно в статье “Идеальные квадраты”.

Как видите, процесс формирования образующей таблицы в этом частном случае очень прост, потому что все разности равны 1 или -1, кроме одной, равной -8.

А теперь нет ничего проще переписать эту образующую таблицу в готовый пандиагональный квадрат 16-ого порядка. Это делается построчно, как я уже не раз говорила. И на рис. 17 вы видите готовый пандиагональный квадрат, порождаемый этой образующей таблицей.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Вы ещё не убедились, что с помощью таких качелей можно построить пандиагональный квадрат любого чётно-чётного порядка? Покажу тогда ещё пандиагональный квадрат 20-ого порядка, построенный этим методом. Но только пропускаю образующую таблицу, сразу даю сам квадрат (рис. 18).

 

 

 

                                                                  Рис. 18

 

В квадрате выделен 19-ый, последний, цикл качания качелей жёлтым цветом. Напомню: каждый цикл качания качелей – это соответствующий столбец в образующей таблице. Качели здесь качаются так: через 1 ячейку влево, через 17 ячеек вправо, сумма шагов качания как всегда на 2 меньше порядка квадрата.

 

Интересно отметить, что в статье “Пандиагональные квадраты чётно-чётного порядка” описан ещё один очень простой и оригинальный метод построения пандиагональных квадратов двойной чётности – это определённые преобразования трёх квадратов внутри ассоциативного квадрата, построенного, например, методом квадратных рамок. Этот метод я обнаружила, работая с программой перестановки строк и столбцов в ассоциативном квадрате с целью получения пандиагонального квадрата. Кстати, применяемые мной преобразования трёх квадратов есть не что иное, как перестановка строк и столбцов определённым образом. Покажу здесь для сравнения с только что построенным пандиагональным квадратом квадрат из указанной статьи (рис. 19).