ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ЧЁТНО-ЧЁТНЫХ ПОРЯДКОВ

 

                                                                       Часть I

 

 

Ещё раз остановлюсь на методах построения пандиагональных квадратов порядка двойной чётности, то есть порядка n=4k, k=1,2,3,…

 

Пандиагональные квадраты четвёртого порядка я строила очень просто, даже не задумываясь о методах. В программу построения всех квадратов четвёртого порядка вставила блок проверки пандиагональности, и таким образом одновременно со всеми квадратами четвёртого порядка (которых 880) получила и 48 пандиагональных квадратов. Так что с этими квадратами всё очень просто.

Далее у нас идут квадраты восьмого порядка. На странице “Магические квадраты восьмого порядка” я рассказала о матричном методе построения пандиагональных квадратов восьмого порядка, который нашла в Интернете (ссылку см. на указанной странице).

Ещё один метод придумал Г. Александров (см. http://renuar911.narod.ru/Pan_4k.htm).

 

Здесь я хочу рассказать о третьем методе построения пандиагональных квадратов восьмого порядка. Этот метод, как мне кажется, годен для квадрата любого порядка n=4k, k=1,2,3,…

Но сначала конкретно для квадратов восьмого порядка. Метод очень прост. Я составила программу перестановки строк и столбцов. В эту программу в качестве исходного вводим: а) ассоциативный квадрат, построенный методом квадратных рамок; б) ассоциативный квадрат, построенный методом Рауз-Болла; в) полумагический квадрат, построенный методом четырёх квадратов. Все перечисленные квадраты строятся очень просто (см. страницу “Методы построения магических квадратов”).

Начнём с ассоциативного квадрата, построенного методом квадратных рамок. Этот квадрат вы видите на рис. 1.

 

 

 

                                                   Рис. 1

 

Введя этот квадрат в программу перестановки строк и столбцов, я получила очень много пандиагональных квадратов. В первом из полученных квадратов (на рис. 2 слева) переставлены только столбцы, а далее среди квадратов были и такие, которые получены перестановкой и строк, и столбцов; один из таких квадратов показан на рис. 2 справа.

 

 

 

                                                                      Рис. 2

 

Не привожу здесь все полученные по программе пандиагональные квадраты, так как любой, кто захочет посмотреть эти квадраты, сможет построить их самостоятельно. Программа перестановки строк и столбцов в квадрате очень проста, её может составить любой ученик, занимающийся информатикой.

 

Далее я ввела в программу ассоциативный квадрат, построенный методом Рауз-Болла (рис. 3).

 

 

 

                                                                      Рис. 3

 

В результате выполнения программы построилось много пандиагональных квадратов, но в отличие от предыдущего случая здесь уже первый из построенных квадратов (на рис. 4 слева) получен перестановкой и строк, и столбцов. Показываю тоже два  пандиагональных квадрата из всех построенных (рис. 4). Второй квадрат (на рис. 4 справа), как легко заметить, получен из первого перестановкой только столбцов.

Следует отметить, что квадраты восьмого порядка, как и вообще любого чётно-чётного порядка, не могут быть одновременно пандиагональными и ассоциативными, то есть идеальными. В статье “Ассоциативные квадраты” это доказано для квадратов четвёртого порядка.

 

 

 

                                                                     Рис. 4

 

И, наконец, я взяла ещё один квадрат восьмого порядка в качестве исходного. Этот квадрат не является ассоциативным, он даже полумагический, то есть в нём нет магической суммы по главным диагоналям. Построила я его методом четырёх квадратов, взяв за основу ассоциативный квадрат четвёртого порядка (о методе четырёх квадратов см. в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”). Этот квадрат вы видите на рис 5.

 

 

 

                                                                       Рис. 5

 

Мне было очень интересно, построятся ли пандиагональные квадраты с помощью перестановки строк и столбцов из такого полумагического квадрата. Построились! И даже много. Показываю первый из построенных квадратов на рис. 6. Как видите, он получен перестановкой только столбцов. Вот такой перестановки столбцов оказалось достаточно не только чтобы получить просто магический квадрат, но даже пандиагональный.

 

 

 

                                                                      Рис. 6

 

Наверное, можно взять за основу для построения полумагического квадрата восьмого порядка любой квадрат четвёртого порядка, а не обязательно ассоциативный. И из такого полумагического квадрата, вероятно, получатся пандиагональные квадраты. Это надо проверить.

Тогда представьте, сколько можно построить пандиагональных квадратов из полумагических. Ведь из каждого квадрата четвёртого порядка (а их 880!) получится новый полумагический квадрат восьмого порядка, а из него по программе перестановки строк и столбцов получим множество пандиагональных квадратов. Но даже если полумагический квадрат восьмого порядка надо строить только на основе ассоциативного квадрата четвёртого полрядка, всё равно достаточно много пандиагональных квадратов можно построить. Как известно, ассоциативных квадратов четвёртого порядка 48.

 

Ну, а далее у нас на очереди квадрат 12-ого порядка. Такой квадрат мы тоже можем построить методом квадратных рамок и методом Рауз-Болла. А затем надо сделать соответствующую программу перестановки строк и столбцов и посмотреть, что получится в результате выполнения этой программы. Ещё интересно рассмотреть и случай для квадрата, построенного методом четырёх квадратов. Займусь этим на досуге. А читатели могут заняться прямо сейчас!

 

                                               ***

 

    28 октября 2007 г.

 

Как я и предполагала, полумагический квадрат восьмого порядка можно построить на основе магического квадрата 4х4, не являющегося ассоциативным. Покажу такой квадрат, заодно более подробно расскажу путь построения. За основу возьму магический квадрат 4х4, который вы видите на рис. 7. Это обычный магический квадрат, не являющийся ни ассоциативным, ни пандиагональным.

 

 

 

                                                                      Рис. 7

 

Матрицу 8х8 разбиваем на 4 квадрата 4х4. Первый квадрат (левый верхний) заполняем в точности как квадрат с рис. 7. Второй и все следующие квадраты заполняем нетрадиционными магическими квадратами 4х4, которые получаются из основного квадрата прибавлением в каждой ячейке одного и того же числа; для правого верхнего квадрата это число равно 32, для левого нижнего – 48, для правого нижнего – 16. Метод четырёх квадратов подробно рассматривался в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”. Заполненный таким образом квадрат вы видите на рис. 8.

 

 

                                                                      Рис. 8

 

В этом квадрате уже есть магическая сумма по столбцам. Чтобы сделать магические суммы по строкам, надо поменять закрашенные ломаные фигуры и закрашенные столбцы местами. Полученный в результате таких перестановок квадрат изображён на рис. 9. Это и есть полумагический квадрат, то есть в нём суммы чисел по главным диагоналям не равны магической константе.

 

 

 

                                                    Рис. 9

 

Можно строго доказать, что такие перестановки выравнивают суммы по строкам квадрата, как это было сделано в статье “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”.

 

Итак, ввожу полученный полумагический квадрат с рис. 9 в программу перестановки строк и столбцов. Программа выдаёт много пандиагональных квадратов. Приведу первые три из всех квадратов, записанных программой в файл.

 

 49  64  15  2  32  17  34  47

 12  53  3  62  37  28  46  19

 13  52  10  55  36  29  39  26

 56  57  6  11  25  24  43  38

 1  16  63  50  48  33  18  31

 60  5  51  14  21  44  30  35

 61  4  58  7  20  45  23  42

 8  9  54  59  41  40  27  22

 

 49  34  17  2  32  15  64  47

 12  46  28  62  37  3  53  19

 13  39  29  55  36  10  52  26

 56  43  24  11  25  6  57  38

 1  18  33  50  48  63  16  31

 60  30  44  14  21  51  5  35

 61  23  45  7  20  58  4  42

 8  27  40  59  41  54  9  22

 

 49  47  64  15  32  2  17  34

 12  19  53  3  37  62  28  46

 13  26  52  10  36  55  29  39

 56  38  57  6  25  11  24  43

 1  31  16  63  48  50  33  18

 60  35  5  51  21  14  44  30

 61  42  4  58  20  7  45  23

 8  22  9  54  41  59  40  27

 

Как видите, перестановки только столбцов оказалось достаточно, чтобы превратить полумагический квадрат не просто в магический, а в пандиагональный.

 

Перехожу к квадратам 12-ого порядка. Сначала покажу все исходные квадраты, из которых хочу получить по программе пандиагональные квадраты. На рис. 10 показан ассоциативный квадрат, построенный методом квадратных рамок, на рис. 11 – ассоциативный квадрат, построенный упрощённым методом Рауз-Болла, на рис. 12 – полумагический квадрат, построенный методом четырёх квадратов, на рис. 13 – ассоциативный квадрат, построенный из 16 квадратов 3х3 на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка.

 

 

 

                                                                      Рис. 10

 

 

 

                                                                  Рис. 11

 

 

 

                                                                      Рис. 12.

 

Этот полумагический квадрат построен методом четырёх квадратов, аналогично тому, как построен выше полумагический квадрат восьмого порядка. За основу здесь взят магический квадрат 6х6, построенный мной тоже методом четырёх квадратов (см. статью “Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка”). Я выделила одинаковым цветом фигуры и столбцы, которые поменялись местами.

 

Об ассоциативном квадрате, который вы видите на рис. 13, расскажу подробнее. В статье “Магические квадраты пятнадцатого порядка” я показывала, как построить ассоциативный квадрат 15х15 из 25 магических квадратов 3х3. Здесь всё совершенно аналогично. За основу берётся магический квадрат 3х3, который вы видите на рис. 14 (слева), а базой для построения является ассоциативный квадрат четвёртого порядка, он на рис. 14 справа. Матрица 12х12 разбивается на 16 квадратов 3х3. Каждый такой квадрат заполняется, как магический квадрат 3х3 (в одном только квадрате это традиционный квадрат, во всех других – нетрадиционные магические квадраты). А вот создание каждого магического квадрата 3х3 определяется базовым квадратом четвёртого порядка. К каждому числу квадрата 3х3 надо прибавить одно и то же число, которое равно (b-1)*9, где b – число, которое стоит в соответствующей ячейке магического квадрата четвёртого порядка. Так, в первом квадрате 3х3 мы ничего не будем прибавлять, так как в соответствующей ячейке квадрата четвёртого порядка стоит число 1. В следующем квадрате 3х3 надо к каждому числу основного квадрата 3х3 прибавить (14-1)*9=117 и т. д. В этом смысле говорится, что квадрат строится на базе квадрата четвёртого порядка. Для того чтобы построенный квадрат получился ассоциативным, базовый квадрат тоже должен быть ассоциативным.

 

 

 

                                                                      Рис. 13

 

 

 

                                                                  Рис. 14

 

Вот какой интересный ассоциативный квадрат! Как известно, ассоциативных квадратов четвёртого порядка 48. На базе каждого из них можно построить таким методом ассоциативный квадрат 12-ого порядка. Основной квадрат 3х3 тоже можно варьировать. Как известно, есть 8 вариантов магического квадрата третьего порядка.

 

Интересно посмотреть доказательство того, что сумма в любой строке, в любом столбце и в главных диагоналях квадрата на рис. 13 равна магической константе 870. Обозначим числа в строке (или в столбце, или в главной диагонали) основного квадрата 3х3 – a, b, c, а числа в строке (или в столбце, или в главной диагонали) базового квадрата четвёртого порядка – A, B, C, D. Тогда сумма чисел в строке (или в столбце, или в главной диагонали) построенного квадрата будет вычисляться так:

 

S=[a+(A-1)*9+b+(A-1)*9+c+(A-1)*9]+[a+(B-1)*9+b+(B-1)*9+c+(B-1)*9]+[a+(C-1)*9+b+(C-1)*9+c+(C-1)*9)]+[a+(D-1)*9+b+(D-1)*9+c+(D-1)*9]= 4(a+b+c)+3(A-1)*9+3(B-1)*9+3(C-1)*9+3(D-1)*9=4*15+3*9(A-1+B-1+C-1+D-1)=60+27*(A+B+C+D-4)=60+27*30=60+810=870

 

Совершенно очевидно, что таким методом можно построить ассоциативный квадрат любого порядка n=3k, где k>2 и не равно 4m+2, m=1,2,3,…

 

Напомню читателям, что я показала исходные квадраты 12-ого порядка, которые собираюсь превратить в пандиагональные путём перестановки строк и/или столбцов. Но ещё не сделала соответствующую программу из программы для квадратов восьмого порядка. Так что, продолжение следует!

 

                                                   ***

 

7-8 ноября 2007 г.

 

Наконец-то сделала программу перестановки строк и столбцов для квадратов 12-ого порядка. Однако при выполнении этой программы возникли сложности. Понятно, что количество всех перестановок строк и столбцов для квадрата 12-ого порядка становится значительно больше по сравнению с квадратом 8-ого порядка. Поэтому когда я начала выполнять программу, как говорится, “в лоб”, у меня ничего не получилось. То есть, конечно, программа выполнилась бы, в конце концов, но надо было бы очень долго ждать. Тогда я пошла другим путём. Взяла известный мне пандиагональный квадрат 12-ого порядка (см. рис. 15) и вручную превратила его в ассоциативный (см. рис. 16), переставляя строки и столбцы. Это оказалось совсем нетрудно. А затем полученный ассоциативный квадрат ввела в качестве исходного в свою программу перестановки строк и столбцов. Но! В программе задала уже не все перестановки, а первые 6 строк и первые 6 столбцов оставила на месте, потому что, сравнив пандиагональный и ассоциативный квадраты, увидела, что первые 6 строк и 6 столбцов не переставлены. Понятно, что такая программа выполнилась очень быстро, и пандиагональный квадрат был получен. Это была отладка программы (на известном примере!) и, кроме того, её оптимизация. А затем я попробовала выполнить программу в таком варианте для других ассоциативных квадратов, и всё получилось!

 

 

 

                                                                      Рис. 15

 

 

 

                                                                  Рис. 16

 

Итак, теперь я беру ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 10, и ввожу его в программу перестановки строк и столбцов. Ещё надо отметить, что для квадратов 12-ого порядка я составила программу так, что она прекращает работу при построении одного квадрата. В результате выполнения программы получился пандиагональный квадрат, который вы видите на рис. 17.

 

 

 

                                                                      Рис. 17

 

Посмотрите, как интересно произведены перестановки в квадрате (сравнивайте с исходным квадратом с рис. 10). Левый верхний квадрат 6х6 остался без изменения. Правый верхний квадрат 6х6 отражён относительно вертикальной оси симметрии; левый нижний квадрат 6х6 отражён относительно горизонтальной оси симметрии; правый нижний квадрат повёрнут на 180 градусов.

 

Точно так же превращаю в пандиагональный квадрат (см. рис. 18) ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 11.

 

 

 

                                                   Рис. 18

 

И, наконец, по этой же программе превращаю в пандиагональный квадрат ассоциативный квадрат с рис. 13. Этот квадрат вы видите на рис. 19.

 

 

                                                                      Рис. 19

 

 Здесь перестановки происходят аналогично перестановкам в ассоциативном квадрате с рис. 10.

 

Мне не удалось по этой программе получить пандиагональный квадрат из полумагического квадрата, изображённого на рис. 12. Значит, в этом квадрате строки и столбцы переставляются по другой схеме, нежели во всех рассмотренных ассоциативных квадратах. Повторю, что я не выполнила программу полностью, то есть не сделала всех перестановок строк и столбцов. Вполне возможно, что решение есть и для полумагического квадрата. Предлагаю читателям решить эту задачу. Главную часть задачи – получение пандиагонального квадрата 12-ого порядка из ассоциативного – я выполнила.

 

Ну, а теперь на очереди квадрат 16-ого порядка. Но прежде чем рассматривать квадрат 16-ого порядка, вернёмся немного назад – к квадратам восьмого порядка. Для этих квадратов выше было показано превращение ассоциативного квадрата в пандиагональный по программе перестановки строк и столбцов. Но мне очень понравились перестановки, произведённые программой в ассоциативном квадрате 12-ого порядка, построенном методом квадратных рамок (см. рис. 10 и рис. 17). Я решила посмотреть точно такую же перестановку для ассоциативного квадрата восьмого порядка, тоже построенного методом квадратных рамок (см. рис. 1). Оказалось, что, произведя аналогичные перестановки, я получила пандиагональный квадрат! Смотрите на рис. 20.

 

 

 

                                                                      Рис. 20

 

Напомню, что по программе перестановки строк и столбцов я получила из ассоциативного квадрата с рис. 1 много пандиагональных квадратов. Квадрат на рис. 20 – один из них. Он получается очень оригинальным способом (который тоже является не чем иным как перестановкой строк и столбцов): левый верхний квадрат 4х4 остаётся без изменения; правый верхний квадрат 4х4 отражается относительно вертикальной оси симметрии; левый нижний квадрат 4х4 отражается относительно горизонтальной оси симметрии; правый нижний квадрат 4х4 повёрнут на 180 градусов. Построенный таким способом пандиагональный квадрат восьмого порядка обладает интересным свойством: сумма чисел в любом квадрате 4х4, находящемся внутри этого квадрата, равна одному и тому же числу – 520=2*260, где 260 – магическая константа квадрата. На рис. 20 выделен один из таких квадратов.

Таким же свойством обладает и пандиагональный квадрат 12-ого порядка, построенный этим способом (см. рис. 17). В этом квадрате сумма чисел в любом квадрате 6х6, находящемся внутри квадрата 12х12, равна одному и тому же числу – 2610=3*870, где 870 – магическая константа квадрата.

 

Теперь, как догадывается читатель, я применю тот же самый метод к квадрату 16-ого порядка. И не надо даже составлять программу для перестановки строк и столбцов.

Построить ассоциативный квадрат 16-ого порядка методом квадратных рамок – нет ничего проще. Об этом методе рассказано в статье “Методы построения магических квадратов”. Этот ассоциативный квадрат вы видите на рис. 21.

 

 

 

                                                                      Рис. 21

 

Ну, а теперь произведём перестановки описанным выше способом. В результате получается пандиагональный квадрат 16-ого порядка! Это первый пандиагональный квадрат 16-ого порядка, который я построила. Не вникала в метод Г. Александрова для построения пандиагональных квадратов порядка двойной чётности. Возможно, он тоже прост. Но представленный здесь метод совсем простой. Чего проще: отразить два квадрата и повернуть один квадрат в ассоциативном квадрате, построенном методом квадратных рамок! На рис. 22 вы видите готовый пандиагональный квадрат 16-ого порядка.

 

 

 

                                                                      Рис. 22

 

Этот квадрат обладает таким же свойством, как построенные выше пандиагональные квадраты восьмого и 12-ого порядка: сумма чисел в любом квадрате 8х8, находящемся внутри данного квадрата, равна одному и тому же числу – 8224=4*2056, где 2056 – магическая константа квадрата. На рис. 22 выделен один из таких квадратов. Аналогичным свойством обладает квадрат Франклина (см. статью “Полумагические квадраты”).

 

Вспомним, что точно такими же перестановками мы превратили ассоциативный квадрат 12-ого порядка, построенный на базе ассоциативного квадрата четвёртого порядка, в пандиагональный (см. рис. 13 и рис. 19). Это же сделаем для квадрата 16-ого порядка. Сначала построим ассоциативный квадрат 16-ого порядка, взяв за основной и за базовый квадраты один и тот же ассоциативный квадрат четвёртого порядка (на рис. 14 справа). Как строить такой квадрат, подробно рассказано в статье “Ассоциативные квадраты”. Ассоциативный квадрат 16-ого порядка, построенный таким методом, вы видите на рис. 23.