СОВЕРШЕННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть II

 

 

Внимание! Оригинал.

При копировании прошу

указывать ссылку

на данную страницу.

 

 

Продолжаю рассказ о совершенных квадратах. О, это такие прекрасные квадраты!

На этом форуме http://lib.mexmat.ru/forum дали ссылку на статью о совершенных квадратах:

http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm

 

К сожалению, статья на английском языке. Перевела статью в Google и работаю с ней. Во-первых, нигде раньше не встречала точного определения совершенных квадратов. Вот какое определение дано в этой статье:

 

1.      Every 2 x 2 block of cells (including wrap-around) sum to 2T (where T= n² + 1)   (ie compact) Каждые 2 х 2 блока ячеек (в том числе завершение всего) на сумму 2T (где Т = n² +1) (то есть компактный)

2.      Any pair of integers distant n/2 along a diagonal sum to T (ie complete) Любая пара чисел дальних n/2 вдоль диагонали сумму T (т.е. полный)

3.      Doubly-even pandiagonal normal magic squares (ie order 4, 8, 12, etc using integers from 1 to n² ) Вдвойне-даже pandiagonal нормальный магический квадратов (т.е. порядка 4, 8, 12 и т.д. с помощью чисел от 1 до n²)

Начну с третьего пункта. В этом пункте говорится, что совершенный квадрат – это нормальный (то есть заполненный натуральными числами от 1 до n²) квадрат порядка 4, 8, 12 и т. д. (то есть порядка n=4k, k=1, 2, 3…), являющийся пандиагональным.

Второй пункт назову свойством комплементарности. Это свойство можно сформулировать так: на любой диагонали совершенного квадрата (как главной, так и разломанной) каждая пара чисел, находящихся на расстоянии n/2 ячеек друг от друга,  даёт в сумме 1+n².

Свойство первого пункта формулирую так: в совершенном квадрате сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 2T, где T = 1+n². Я долго думала, что означает фраза “в том числе завершение всего”, наконец, истолковала это так: если совершенный квадрат свернуть в цилиндр (по любой оси), то сумма чисел во всех квадратах 2х2, образовавшихся на стыке двух краёв квадрата, тоже должна быть равна 2T. Мне кажется, что для выполнения этого условия необходимо, чтобы сумма в угловых ячейках квадрата тоже была равна 2T. Другими словами, совершенный квадрат остаётся совершенным при параллельном переносе на торе.

 

К счастью, квадраты не нуждаются в переводе. И вот вижу в статье совершенный квадрат восьмого порядка. Это тот самый квадрат, который я нашла ранее в другой статье и уже исследовала в первой части настоящей статьи.

Я попробовала построить совершенный квадрат следующего – 12-ого – порядка по такой же схеме. Интересный получился квадрат, но не совершенный. Он пандиагональный, свойство комплементарности в нём выполняется. Но не во всех квадратах 2х2, находящихся внутри этого квадрата, сумма чисел равна 290, и сумма чисел в угловых ячейках квадрата тоже не равна 290. Показываю этот почти совершенный квадрат на рис. 1.

 

 

 

Рис. 1

 

Выразила сумму чисел в угловых ячейках для данной группы подобных квадратов для любого порядка n=4k. Получила такое выражение:

 

S = (5n² – 8n + 4)/2

 

Составляю уравнение:

 

(5n² – 8n + 4)/2 = 2*(n² + 1)

 

Это уравнение имеет единственное решение: n=8. Вот и получается, что по данной схеме строится только совершенный квадрат восьмого порядка.

Для приведённого квадрата порядка n=12 получаем:

 

S = (5n² – 8n + 4)/2 = 314.

 

Проверьте: сумма чисел в угловых ячейках этого квадрата действительно равна 314.

 

Однако квадрат на рис. 1 даёт нам очень оригинальную схему построения пандиагональных квадратов 12-ого (и не только) порядка.

И ещё: надо попробовать как-нибудь переставить в этом квадрате правую часть начальной цепочки. Посмотрите: сумма чисел 1, 132, 138 и 19 равна 290. Надо попытаться сделать так, чтобы числа 138 и 19 оказались в правых угловых ячейках квадрата. Попробуйте поэкспериментировать с этим почти совершенным квадратом. Возможно, вам удастся сделать из него совершенный.

 

А я пойду дальше. В указанной статье вижу совершенный квадрат 12-ого порядка. Покажу здесь этот квадрат в несколько преобразованном виде (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Посмотрите на схему расположения первых 12 чисел в этом квадрате. Такую начальную цепочку я ещё не встречала. И что самое удивительное: квадрат “не берётся” методом качелей, то есть я не могу применить к нему метод качелей, чтобы построить подобные совершенные квадраты, как я сделала, например, с совершенным квадратом восьмого порядка, найденным в Интернете. Долго смотрела на схему построения этого квадрата, но так и не смогла в неё проникнуть. Но ведь каким-то методом этот квадрат был построен! Не просто так – наобум – заполнялась матрица.

Проведя пару часов над этим квадратом, я бросила его и решила построить свой совершенный квадрат с простой начальной цепочкой. Если идеальный квадрат 12-ого порядка (а также всех порядков n=4*(2k+1), k=1, 2, 3…) с линейной цепочкой мне построить не удалось, то совершенные квадраты с такой цепочкой я построила. И опять же своим методом качелей! Эти квадраты удивительно просты в построении, все квадраты я построила вручную. Образующая таблица для этих квадратов тривиальная, как образующая таблица для идеальных квадратов нечётного порядка не кратного 3. Понятно, что это группа частных решений для любого порядка n=4k, k=1, 2, 3,… Но можно запрограммировать алгоритм и получить все подобные решения для каждого порядка. Разумеется, что алгоритм построения всех частных решений (для любого порядка) тоже можно формализовать и запрограммировать, хотя все частные решения очень просто построить и без программы. Однако всё-таки для больших порядков удобнее это делать по программе.

Итак, я начала построение этой группы квадратов с квадрата 12-ого порядка, но начну показывать процесс построения с квадрата восьмого порядка. На рис. 3 вы видите образующую таблицу построенного мной совершенного квадрата.

 

 

Рис. 3

 

Посмотрите на эту таблицу внимательно. Видите её тривиальность? Начальная цепочка очень проста, столбец разностей состоит почти из одних единиц (кроме одного центрального числа), номера циклов качания качелей тоже следуют в строгом порядке и по закону симметрии. Одним словом, в высшей степени простая и гармоничная таблица. Я даже удивилась сначала её простоте и не поверила, что порождаемый ею квадрат будет совершенным. Но вот он, смотрите (рис. 4)! Кстати, перенос чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата здесь тоже очень прост, качели в чистом виде! Да, а качели, кстати сказать, здесь качаются с равными шагами влево и вправо, а именно через 3 ячейки влево, через 3 ячейки вправо.

 

 

Рис. 4

 

Для тех, кто ещё не читал мои статьи о методе качелей и разных его применениях (напомню, что начать надо со статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob.htm ) покажу подробно перенос чисел из образующей таблицы (кстати, о формировании образующей таблицы тоже рассказано в указанной статье об идеальных квадратах нечётного порядка) в матрицу для квадрата. Красивейшие качели! На рис. 5 вы видите матрицу, заполненную только первыми 8 числами, это начальная цепочка.

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 показаны числа из первого (не считая столбец разностей и столбец с начальной цепочкой) столбца образующей таблицы (цикл при k=3).

 

 

Рис. 6

 

Посмотрите, как строго числа повторяют схему расположения первых 8 чисел! А числа как записываются, смотрите: в первой строке число 32, во второй строке, через 3 ячейки вправо, следующее число – 31, в третьей строки, через 3 ячейки влево, следующее число – 30 и так далее. Теперь понимаете, почему я назвала свой метод методом качелей? Продолжаю. На рис. 7 вы видите числа из второго столбца образующей таблицы (цикл при k=2).

 

 

Рис. 7

 

Ну, далее я заполню матрицу, раскрашивая все следующие циклы качания качелей, но не меняя при каждом новом цикле картинку. Готовый квадрат смотрите на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Вот такой красивый совершенный квадрат у меня получился. Удивительная стройность и гармоничность! Нет предела совершенству! Даже идеальные квадраты как-то потускнели в моих глазах в сравнении с совершенными квадратами.

Замечу, что этот квадрат является принципиально новым совершенным квадратом, отличным от того, который приведён в указанной статье и был найден и исследован мной ранее. В этих двух квадратах разные схемы расположения первых 8 чисел (начальные цепочки). И если к первому квадрату я применила метод качелей и построила подобные ему совершенные квадраты (об этом подробно рассказано в первой части настоящей статьи), то второй квадрат сама построила методом качелей.

И ещё одно замечание: совершенно очевидно, что числа из образующей таблицы можно переносить в матрицу для квадрата построчно, при этом одни строки (начинающиеся с чисел начальной цепочки) переносятся без изменения, а другие (не начинающиеся с чисел начальной цепочки) переносятся со смещением. Такой перенос совсем прост!

 

Прежде чем перейти к квадрату 12-ого порядка, покажу аналогичный совершенный квадрат четвёртого порядка (рис. 9).

 

 

 

Рис. 9

 

Квадраты 12-ого и 16-ого порядка построила за несколько минут, конечно, вручную. Даже образующую таблицу формировала без компьютера и без калькулятора, потому что, как вы видели, она формируется элементарно – кто же не может в уме прибавлять или вычитать единицу!

На рис. 10 вы видите совершенный квадрат 12-ого порядка, а на рис. 11 – совершенный квадрат 16-ого порядка. Я не показываю для этих квадратов образующие таблицы, потому что они формируются абсолютно аналогично образующей таблице для квадрата восьмого порядка (рис. 3).

 

 

 

Рис. 10

 

 

 

Рис. 11

 

Ну, а теперь надо показать начальную цепочку в общем виде для любого порядка n=4k:

 

1  2  3  4  …  n/2  n  n-1  n-2  …  n/2+4  n/2+3  n/2+2  n/2+1

 

Очень простой закон составления начальной цепочки. Не правда ли? Числа, выделенные красным цветом, стоят в центре начальной цепочки. Например, для квадрата порядка n=20 начальная цепочка будет выглядеть так:

 

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  20  19  18  17  16  15  14  13  12  11

 

Так же просто определяются номера циклов качания качелей. В общем виде строка образующей таблицы, содержащая номера циклов качания качелей, запишется так:

 

k=(n-2)/2  k=(n-2)/2-1  k=(n-2)/2-2  …  k=1  k=n-1  k=n/2  k=n/2+1  k=n/2+2  …  k=n-4  k=n-3  k=n-2

 

Красным цветом выделен центральный цикл. При n=20 имеем такую строку с номерами циклов качания качелей:

 

k=9 k=8 k=7 k=6 k=5 k=4 k=3 k=2 k=1 k=19 k=10 k=11 k=12 k=13 k=14 k=15 k=16 k=17 k=18

 

Теперь всё готово для того, чтобы построить совершенный квадрат 20-ого порядка. Покажу пустую образующую таблицу, в ней записана только начальная цепочка и строка с номерами циклов качания качелей (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Ну, и ещё одна подсказка: в таблице выделены ячейки, в которых будут находиться максимальные числа в каждом столбце. Как помнят читатели, знакомые с методом качелей, максимальное число в столбце зависит от номера цикла и вычисляется по формуле: max=n*(k+1), где n – порядок квадрата, k – значение номера цикла качания качелей. Так, например, в первом столбце образующей таблицы на рис. 12 (не считая столбец разностей и столбец с начальной цепочкой) при k=9 максимальное число будет равно 20*10=200. Как формируется столбец разностей, читатели, наверное, уже знают. Теперь заполните образующую таблицу на рис. 12 и постройте порождаемый ею совершенный квадрат 20-ого порядка.

Получилось?

 

Как я уже сказала, образующая таблица формируется элементарно. Однако предлагаю читателям формализовать алгоритм и составить программу, которая при вводе порядка квадрата моментально выдаст вам ну хотя бы образующую таблицу для совершенного квадрата данного порядка. Это совсем простой этап. Второй этап – перенос чисел из образующей таблицы в матрицу для квадрата – тоже, конечно, можно запрограммировать; половина строк переносится вообще без изменения, а другая половина переносится с одинаковым смещением.

 

Я уже говорила, что совершенный квадрат остаётся совершенным при параллельных переносах на торе. Покажу два варианта, полученные параллельным переносом на торе построенного мной совершенного квадрата восьмого порядка с рис. 8. На рис. 13 вы видите совершенный квадрат, начинающийся с числа 2 (это одно из чисел начальной цепочки).

 

 

Рис. 13

 

На рис. 14 вы видите совершенный квадрат, начинающийся с числа 42, это число не принадлежит начальной цепочке.

 

 

 

Рис. 14

 

Но и это ещё не все замечательные свойства совершенных квадратов! В указанной статье я узнала ещё об одном удивительном свойстве. Совершенные квадраты как бы сложены из блоков, которыми являются квадраты 2х2. И с этими блоками можно творить чудеса. Но расскажу об этом в следующей части статьи. А пока покажу на примере того же совершенного квадрата восьмого порядка с рис. 8 эти самые блоки (см. рис. 15):

 

 

 

Рис. 15

 

Как вы уже знаете, сумма чисел в каждом таком блоке совершенного квадрата равна 2*(n² +1). Для квадрата восьмого порядка эта сумма равна 130.  И ещё: сумма чисел в одной строке каждого квадрата 2х2 равна 33, а сумма чисел в другой строке равна 97. А в столбцах квадратов 2х2 так: в первой полосе блоков (считая сверху) – сумма чисел в первом столбце равна 59, сумма чисел во втором столбце равна 71. Во второй полосе блоков: сумма чисел в первом столбце равна 63, сумма чисел во втором столбце равна 67. В третьей полосе блоков: сумма чисел в первом столбце равна 71, сумма чисел во втором столбце равна 59. И в четвёртой полосе блоков: сумма чисел в первом столбце равна 67, сумма чисел во втором столбце равна 63. Вот такая гармония!

 

                                                                                  ***

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

 

28 мая 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу