СОВЕРШЕННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IV

 

В конце второй части настоящей статьи я обещала показать ещё одно интересное свойство совершенных квадратов. Это свойство состоит в том, что совершенный квадрат как бы сложен из блоков, которыми являются квадраты 2х2, и с этими блоками можно выполнять различные преобразования, которые переводят совершенный квадрат в совершенный. Буду демонстрировать это свойство на совершенном квадрате, найденном мной в Интернете. Это, пожалуй, самый известный совершенный квадрат восьмого порядка; я встречала его ещё и в статье на английском языке, с которой много работала (см. вторую и третью части настоящей статьи). Покажу этот квадрат в несколько преобразованном виде (рис. 1), эти преобразования (поворот и отражение) дают эквивалентный квадрат. Именно в таком виде я применила к этому квадрату метод качелей и получила 72 подобных квадрата, то есть с такой же начальной цепочкой. Этот факт будет использоваться в дальнейшем. Все 72 квадрата помещены на сайт, смотрите их здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/soversh8.htm

 

 

 

Рис. 1

 

В третьей части статьи был показан уникальный обратимый квадрат, соответствующий этому совершенному квадрату. Назову базовым совершенным квадратом совершенный квадрат, соответствующий уникальному обратимому квадрату. Как известно, существует 10 уникальных обратимых квадратов восьмого порядка. Значит и базовых совершенных квадратов тоже будет 10. Одним из них является квадрат, представленный на рис. 1. Ещё два базовых квадрата я покажу далее.

На рис. 1 выделены блоки, из которых сложен совершенный квадрат, это квадраты 2х2. Как уже знают читатели, сумма чисел в любом таком блоке совершенного квадрата равна одному и тому же числу: 2T = 2(n² + 1).

Теперь покажу все преобразования с этими блоками, которые дают восемь новых совершенных квадратов, то есть эти квадраты не являются эквивалентными данному квадрату. Таким образом, каждый совершенный квадрат порождает группу из 9 совершенных квадратов (считая его самого).

Получается интересная задача: найдите, какой квадрат из восьми полученных мной преобразованиями квадратов лишний, то есть эквивалентный исходному квадрату. Я никак не могу найти этот квадрат! Но по тем результатам, что даны в разных статьях (на английском языке) о количестве совершенных квадратов восьмого порядка, должно быть так: каждый базовый квадрат порождает группу из 72 квадратов (считая его самого); каждый из этих 72 квадратов порождает группу из 8 квадратов (считая его самого). Итого получаем: 72*8=576 совершенных квадратов. Поскольку базовых совершенных квадратов 10, то всего мы получим 5760 совершенных квадратов. Это без учёта параллельных переносов на торе. Если учесть все квадраты, получающиеся такими преобразованиями, то всего получится 5760*64=368640 совершенных квадратов восьмого порядка. Так всё получается. Но у меня из исходного квадрата (одного из 72 квадратов) получается восемь новых квадратов. Какой же квадрат лишний? Где я ошибаюсь?

 

Итак, показываю преобразования квадрата с рис. 1.

1). Перестановка чисел в строках блоков. Преобразование равносильно перестановке столбцов в квадрате. Полученный в результате этого преобразования совершенный квадрат вы видите на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

2). Перестановка чисел в столбцах блоков. Это преобразование равносильно перестановке строк в исходном квадрате (рис. 1). Полученный совершенный квадрат изображён на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

3). Перестановка чисел в диагоналях блоков. Это преобразование равносильно одновременной перестановке чисел в строках и столбцах блоков или перестановке строк и столбцов в исходном квадрате. Новый совершенный квадрат показан на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

4).  Теперь переставляем целые блоки; в каждом квадрате 4х4 исходного квадрата с рис. 1 переставляются блоки по обеим диагоналям. Полученный в результате этого преобразования совершенный квадрат представлен на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

5). В этом преобразовании тоже переставляются блоки таким образом: угловые блоки переставляются по диагоналям квадрата, в центральном квадрате 4х4 блоки тоже переставляются по диагоналям. Полученный совершенный квадрат изображён на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

6). Теперь будем преобразовывать квадрат с рис. 6. Снова переставим числа в строках блоков, что равносильно перестановке столбцов в квадрате. Смотрите новый совершенный квадрат на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

7). Переставим числа в столбцах блоков в том же квадрате с рис. 6. Это преобразование равносильно перестановке строк в этом квадрате. Новый совершенный квадрат вы видите на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

8). И последнее преобразование: перестановка чисел по диагоналям блоков в том же квадрате с рис. 6. Преобразование равносильно одновременной перестановке чисел в строках и столбцах блоков или перестановке строк и столбцов в самом квадрате. Полученный в результате этого преобразования квадрат изображён на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Итак, перед вами восемь новых совершенных квадратов, полученных из исходного квадрата с рис. 1. Все квадраты я проверила, но никак не могу найти лишний квадрат.

Теперь можно взять второй из 72 совершенных квадратов, которые есть в файле на сайте (см. ссылку выше), и из него тоже получить 8 новых совершенных квадратов такими же преобразованиями.

Таким образом, у меня получается, что базовый квадрат c рис. 1 порождает группу из 648 квадратов (72*9). Если все мои квадраты правильные, тогда возникает такая версия: не каждый базовый квадрат порождает группу из 72 подобных квадратов. Однако в статье на английском языке, с которой я работала, сказано, что каждый уникальный обратимый квадрат восьмого порядка образует группу из 36864 обратимых квадратов, и, следовательно, каждый базовый совершенный квадрат тоже образует группу из 36864 совершенных квадратов, так как между обратимыми и совершенными квадратами существует взаимнооднозначное соответствие. А дальше это число умножается на 10 (число всех уникальных обратимых квадратов восьмого порядка) и получается результат: всего обратимых (и совершенных) квадратов восьмого порядка 368640. Но и это ещё не всё. Если учесть основные преобразования магических квадратов, которые, разумеется, применимы и к совершенным квадратам, то общее количество совершенных квадратов восьмого порядка будет таким: 368640*8=2949120. И все эти квадраты получаются всего из 10 базовых совершенных квадратов!

 

***

 

 

7 июня 2008 г.

г. Саратов

 

8 июня 2008 г.

 

Сейчас трудилась над составлением уникальных (или принципиально различных) обратимых квадратов восьмого порядка. Составила 7 квадратов из 10. Оставшиеся 3 квадрата предлагаю составить читателям.

Напомню, что уникальный обратимый квадрат помимо свойств обратимого квадрата [определение обратимых квадратов см. здесь: http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm ] должны удовлетворять ещё таким условиям: числа 1 и 2 стоят в верхней строке квадрата; числа в любой строке квадрата при чтении слева направо следуют в порядке возрастания; числа в любом столбце квадрата при чтении сверху вниз следуют в порядке возрастания.

Как уже известно читателям настоящей статьи, самый простой уникальный обратимый квадрат составляется очень просто: в матрицу nxn записываются числа от 1 до n² построчно, начиная с левой верхней ячейки квадрата. На рис. 10 повторю ещё раз самый простой обратимый квадрат восьмого порядка, а на рис. 11 вы видите соответствующий этому квадрату базовый совершенный квадрат.

 

 

Рис. 10

 

Первый базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 11

 

Второй уникальный обратимый квадрат тоже был показан в третьей части этой статьи. Но для полноты картины повторю и этот квадрат (рис. 12). А на рис. 13 изображён соответствующий этому квадрату базовый совершенный квадрат. Этот квадрат самый популярный в Интернете. На рис. 1 изображён эквивалентный квадрат, полученный из данного квадрата поворотом и отражением.

 

 

Рис. 12

 

Второй базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 13

 

Теперь начинаю сама составлять уникальные обратимые квадраты. А затем превращаю составленные обратимые квадраты в совершенные по программе, которая была представлена в предыдущей части данной статьи. Не знаю, правильно ли я составила все обратимые квадраты, но они, по-моему, удовлетворяют всем условиям. Итак, третий уникальный обратимый квадрат представлен на рис. 14, на рис. 15 – соответствующий ему базовый совершенный квадрат.

 

 

Рис. 14

 

Ввожу в программу этот обратимый квадрат и получаю соответствующий совершенный (базовый) квадрат

 

Третий базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 15

 

На рис. 16 и рис. 17 вы видите следующую пару: уникальный обратимый квадрат –  базовый совершенный квадрат.

 

 

Рис. 16

 

Четвёртый базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 17

 

И дальше точно так же следующие три пары квадратов – рис. 18 и рис. 19; рис. 20 и рис. 21; рис. 22 и рис. 23.

 

 

Рис. 18

 

Пятый базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 19

 

 

 

Рис. 20

 

Шестой базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 21

 

 

 

Рис. 22

 

Седьмой базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 23

 

Вот такие базовые совершенные квадраты восьмого порядка мне удалось построить. Не хватает трёх квадратов. Надо бы ещё подумать и сочинить оставшиеся квадраты, но не хочется уже. Предлагаю читателям сделать это.

 

Примечание: оставшиеся три базовых квадрата показаны далее.

 

В предыдущей части статьи были показаны два уникальных обратимых квадрата 12-ого порядка. Не буду повторять их здесь, а приведу ещё один уникальный обратимый квадрат и соответствующий ему базовый совершенный квадрат. На рис. 24 изображён уникальный обратимый квадрат 12-ого порядка, который я составила по аналогии с уникальным обратимым квадратом восьмого порядка с рис. 16.

 

 

Рис. 24

 

Ввожу этот квадрат в программу и получаю следующий базовый совершенный квадрат (рис. 25):

 

 

 

Рис. 25

 

Предлагаю читателям заняться составлением всех остальных уникальных обратимых квадратов 12-ого порядка, а затем превратить каждый обратимый квадрат в совершенный, получив таким образом все базовые совершенные квадраты. В статье, с которой я работаю, говорится, что уникальных обратимых квадратов 12-ого порядка 42. Правда, меня несколько удивляет тот факт, что уникальных обратимых квадратов 16-ого порядка (по данным той же статьи) всего 35. Не вкралась ли здесь ошибка? Может быть, наоборот: для квадратов 12-ого порядка количество уникальных обратимых квадратов 35, а для квадратов 16-ого порядка – 42? Ну, вот если читатели составят все уникальные обратимые квадраты 12-ого порядка, они и ответят на этот вопрос.

А после того, как вы справитесь с квадратами 12-ого порядка, можно перейти к квадратам 16-ого порядка. Мне, например, очень понравилось составлять уникальные обратимые квадраты и превращать их по программе в совершенные квадраты.

 

***

 

Узнав на математическом форуме о том, что я работаю с совершенными квадратами, один товарищ любезно прислал мне статьи о таких квадратах. Правда, статьи, к сожалению, на английском языке, а я не знаю языка. Поэтому ищу способы перевести статьи. Тогда, возможно, узнаю что-то новое о совершенных квадратах и продолжу свою статью. Я выложила две статьи на сайте. У кого нет проблем с языком, могут посмотреть эти статьи. Они здесь:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/122-123.pdf

http://www.klassikpoez.narod.ru/mk/2397989.pdf

 

А всего у меня 4 статьи. Если у кого возникнет интерес к теме, пишите. Может быть, кто-нибудь поможет с переводом?

 

Н. Макарова

 

9 июня 2008 г.

 

Вчера на досуге составила оставшиеся три уникальных обратимых квадрата восьмого порядка и получила из них базовые совершенные квадраты. Показываю эти три пары “уникальный обратимый квадрат – базовый совершенный квадрат” на рис. 26-27, 28-29 и 30-31.

 

 

Рис. 26

 

Восьмой базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 27

 

 

 

Рис. 28

 

Девятый базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 29

 

 

 

Рис. 30

 

Десятый базовый совершенный квадрат

 

 

Рис. 31

 

А теперь посмотрите внимательно на все 10 базовых совершенных квадратов восьмого порядка. Среди них есть такие, которые связаны преобразованием “плюс минус …”. Те, кто читал все мои предыдущие статьи о магических квадратах, знают, как работают преобразования такого типа. Покажу здесь матрицу преобразования, связывающего шестой и седьмой базовые квадраты (рис. 32).

 

 

Рис. 32

 

Применив преобразование, описанное данной матрицей, к шестому базовому квадрату, вы получите седьмой базовый квадрат. Наверное, можно найти и ещё пары базовых квадратов, связанных преобразованиями такого типа. Если бы преобразования “плюс-минус…” относились к эквивалентным преобразованиям (напомню, что к эквивалентным преобразованиям относятся основные преобразования и параллельные переносы на торе), то базовых совершенных квадратов восьмого порядка было бы не 10, а несколько меньше. Например, шестой и седьмой базовые квадраты считались бы эквивалентными.

 

Далее я хочу посмотреть, сколько совершенных квадратов порождает первый базовый совершенный квадрат восьмого порядка (см. рис. 11). Напомню, что я применила метод качелей ко второму базовому квадрату (рис. 13) (только преобразовала его: поворот на 90 градусов и отражение; так мне было удобнее применять метод качелей) и получила 72 подобных квадрата (см. первую часть данной статьи).

Во второй части статьи я построила методом качелей другой совершенный квадрат восьмого порядка, который, как оказалось, связан с первым базовым квадратом так: если построенный мной квадрат повернуть на 90 градусов и отразить, а затем переставить в нём строки и столбцы, то получится первый базовый квадрат. Но я построила только одно частное решение, вручную, то есть без программы. А теперь составлю программу, чтобы точно так же получить все квадраты, подобные этому базовому квадрату. Мне очень интересно, сколько получится таких квадратов. Ожидаю, что их тоже будет 72. Повторю, что я буду писать программу для построенного мной квадрата, вы видите его на рис. 33.

 

 

 

Рис. 33

 

На рис. 34 вы видите образующую таблицу этого квадрата.

 

 

Рис. 34

 

Теперь пишу эту таблицу в общем виде с некоторыми начальными условиями, эти условия вы видите на рис. 35. Зафиксировано положение двух чисел в начальной цепочке – 1 и 8, это определяет положение двух чисел в таблице – 57 и 64 (по свойству комплементарности совершенного квадрата), а также номер центрального цикла k=7.

 

 

Рис. 35

 

Далее пишу программу и выполняю её.

И вот удивительный результат: программа выдала 288 подобных совершенных квадратов. Приведу первые 10 квадратов из файла, в который их записала программа.

 

1                                                         2

 1  32  9  24  57  40  49  48                1  32  17  16  57  40  41  56

 58  39  50  47  2  31  10  23              58  39  42  55  2  31  18  15 

 3  30  11  22  59  38  51  46              3  30  19  14  59  38  43  54 

 60  37  52  45  4  29  12  21              60  37  44  53  4  29  20  13 

 8  25  16  17  64  33  56  41              8  25  24  9  64  33  48  49 

 63  34  55  42  7  26  15  18              63  34  47  50  7  26  23  10 

 6  27  14  19  62  35  54  43              6  27  22  11  62  35  46  51 

 61  36  53  44  5  28  13  20              61  36  45  52  5  28  21  12 

 

 3                                                        4

 1  48  9  40  57  24  49  32                1  48  33  16  57  24  25  56 

 58  23  50  31  2  47  10  39              58  23  26  55  2  47  34  15 

 3  46  11  38  59  22  51  30              3  46  35  14  59  22  27  54

 60  21  52  29  4  45  12  37              60  21  28  53  4  45  36  13 

 8  41  16  33  64  17  56  25              8  41  40  9  64  17  32  49 

 63  18  55  26  7  42  15  34              63  18  31  50  7  42  39  10 

 6  43  14  35  62  19  54  27              6  43  38  11  62  19  30  51 

 61  20  53  28  5  44  13  36              61  20  29  52  5  44  37  12

 

5                                                         6

 1  56  17  40  57  16  41  32              1  56  33  24  57  16  25  48 

 58  15  42  31  2  55  18  39              58  15  26  47  2  55  34  23 

 3  54  19  38  59  14  43  30              3  54  35  22  59  14  27  46 

 60  13  44  29  4  53  20  37              60  13  28  45  4  53  36  21 

 8  49  24  33  64  9  48  25                8  49  40  17  64  9  32  41 

 63  10  47  26  7  50  23  34              63  10  31  42  7  50  39  18 

 6  51  22  35  62  11  46  27              6  51  38  19  62  11  30  43 

 61  12  45  28  5  52  21  36              61  12  29  44  5  52  37  20

 

7                                                         8

 1  32  9  24  57  40  49  48                1  32  17  16  57  40  41  56 

 58  39  50  47  2  31  10  23              58  39  42  55  2  31  18  15 

 3  30  11  22  59  38  51  46              3  30  19  14  59  38  43  54 

 61  36  53  44  5  28  13  20              61  36  45  52  5  28  21  12

 8  25  16  17  64  33  56  41              8  25  24  9  64  33  48  49 

 63  34  55  42  7  26  15  18              63  34  47  50  7  26  23  10 

 6  27  14  19  62  35  54  43              6  27  22  11  62  35  46  51 

 60  37  52  45  4  29  12  21              60  37  44  53  4  29  20  13 

 

 9                                                        10

 1  48  9  40  57  24  49  32                1  48  33  16  57  24  25  56 

 58  23  50  31  2  47  10  39              58  23  26  55  2  47  34  15 

 3  46  11  38  59  22  51  30              3  46  35  14  59  22  27  54 

 61  20  53  28  5  44  13  36              61  20  29  52  5  44  37  12 

 8  41  16  33  64  17  56  25              8  41  40  9  64  17  32  49 

 63  18  55  26  7  42  15  34              63  18  31  50  7  42  39  10 

 6  43  14  35  62  19  54  27              6  43  38  11  62  19  30  51 

 60  21  52  29  4  45  12  37              60  21  28  53  4  45  36  13 

 

Частное решение (квадрат, изображённый на рис. 33), которое я построила вручную, программа выдала под № 2.

Покажу на рис. 36 квадрат № 10, записанный в матрицу.

 

 

Рис. 36

 

Таким образом, не все базовые совершенные квадраты порождают одинаковое количество подобных квадратов. Напомню, что из второго базового квадрата я получила методом качелей 72 подобных квадрата. Предлагаю читателям продолжить эксперимент. Возьмите теперь, например, четвёртый базовый совершенный квадрат (рис. 17) и постройте все подобные ему совершенные квадраты. Обратите внимание на то, что форма начальной цепочки в четвёртом базовом квадрате отличается от начальных цепочек первых трёх базовых квадратов.

 

Возможно, есть другой метод построения всех совершенных квадратов из одного базового квадрата (кроме метода качелей). Вот передо мной лежит статья о совершенных квадратах на английском языке. В самом первом абзаце говорится, что в приложении к статье показано, как строить все совершенные квадраты восьмого порядка. Но ничего не могу понять в этом приложении, потому что не знаю языка. С переводом пока ничего не получается. Один знакомый порекомендовал очень хороший (удобный) переводчик. Кстати, рекомендую, может быть, кто-то ищет удобные переводчики. Я сама долго искала, но так ничего хорошего и не нашла, после чего обратилась за помощью к знакомому. Ссылка на переводчик:

babelfish.altavista.com

 

Но возникла другая проблема: формат статьи (pdf) не позволяет скопировать фрагмент текста в буфер обмена, чтобы ввести этот фрагмент в переводчик.

 

Я уже говорила выше, что выложила эту статью на сайт. Смотрите и читайте, если вы знаете английский язык. Может быть, мне потом расскажете, как построить из одного базового квадрата 36864 совершенных квадрата, или без учёта параллельных переносов на торе – 576 квадратов. Интересно показать формулу подсчёта общего количества совершенных квадратов (из указанной статьи):

 

2¹³ * 3² * 5 = 368640

 

Как я понимаю, одну степень числа 2 надо отнести к числу базовых квадратов, то есть записать формулу так:

2¹² * 3² * 10 = 368640

 

Теперь разделим обе части равенства на 64 = 2⁶, чтобы отбросить все квадраты, получающиеся друг из друга параллельными переносами на торе:

 

2⁶ * 3² * 10 = 5760

 

Присутствие в формуле множителя 3² наводит меня на мысль о том, что мои преобразования, показанные выше, совершенно правильные, ибо с помощью них я как раз из каждого совершенного квадрата получаю группу из 9 квадратов (считая его самого). Тогда получается, что каждый базовый квадрат порождает группу из 64 подобных квадратов, а каждый из этих 64 квадратов даёт ещё 8 новых квадратов. Так? Но у меня методом качелей построилось из одного базового квадрата 72 подобных квадрата, а из другого базового квадрата ещё больше – 288 подобных квадратов. Здесь какое-то несоответствие, которое я никак не могу понять.

Ну, построить из одного базового квадрата 64 совершенных квадрата совсем нетрудно (если знать метод). Затем надо применить к каждому из этих квадратов описанные выше преобразования и получить 64*9=576 квадратов. Далее элементарно получаем из каждого квадрата параллельными переносами на торе группу из 64 квадратов (считая его самого), итого: 576*64=36864. И, наконец, проделываем это для каждого из 10 базовых квадратов, получаем 36864*10=368640 квадратов. А кто хочет, может применить к каждому из этих квадратов основные преобразования и получить 2949120 совершенных квадратов восьмого порядка.

Можно применить и такой метод. Взять самый простой уникальный обратимый квадрат восьмого порядка и составить из него все обратимые квадраты, входящие в его группу. Например, в статье, с которой я работала, показана такая группа для одного уникального обратимого квадрата четвёртого порядка, эта группа состоит из 16 квадратов. Можно посмотреть, как составлялись обратимые квадраты данной группы и по аналогии составить группу обратимых квадратов восьмого порядка. Понятно, что эта группа будет состоять из 64 квадратов. А затем по программе, которая была представлена в предыдущей части статьи, превратить каждый обратимый квадрат данной группы в совершенный.

 

***

 

Жду ваших отзывов, предложений, пожеланий. Может быть, что-то в моих результатах и рассуждениях неправильно. Ведь сравнить-то не с чем! В Сети я не нашла ни одной статьи о совершенных квадратах на русском языке.

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу